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平均値や中央値だけでは不十分

テストの点数の仮想例を使って、標準偏差についてお話しします。

１学年２００人の中学校で英語と数学のテストをしたとします。

平均点は英語６０．３点（中央値６０点）、数学５９．９点（中央値６１点）でした。

５点刻みで集計すると、最頻値はどちらも５５―５９点です。

Kさんの点数は、両科目とも同じで８６点でした。さて、英語と数学、Kさんにとって嬉しいのはとちらでしょうか。

平均値や中央値からの微妙な差についてあれこれ言ったところで面白くありません。

知りたいことは、全体から見た自分の位置です。

でも、それは平均値や中央値からだけではわかりません。

平均値や中央値を計算するだけでは不十分なのです。

では、２００人の点数がどのように度数分布しているかを見てみましょう。

英語の点数の度数分布はとがった分布、数学の点数は裾野の広い度数分布でした。

Kさんは両科目とも８６点でした。英語はトップ、唯一の８６点以上でした。

まずはデータの分布を見ることが重要

データの度数分布を見た上で、平均値や中央値といった値を見ると、より情報が増えます。

でも、平均値や中央値だけでは、英語と数学の点数の分布の特徴的な違いを数値で表現しきれません。

英語のテストと数学のテストでは、平均値、中央値を見ると似たような値でしたが、明らかに点数のばらつき具合が違っています。

これを示すのが標準偏差なのです。

ばらつきの指標：標準偏差

実際に計算すると、英語のテストで７．６、数学のテストで１６．７となります。

値が小さいほどばらつきが小さいことを表しています。

でも、数値自体が何なのか、と思うかもしれません。

目安としては、

得られたデータのおよそ2/3は、「平均値±標準偏差」の間にある

得られたデータのおよそ９５％は、「平均値±２×標準偏差」の間にある

偏差値は、以下のように、平均値と標準偏差から計算されます。

点数　　　　　　　　　　 　偏差値
平均値＋２×標準偏差　　　 　７０
平均値＋標準偏差　　　　　 　６０
平均値　　　　　　　　　　 　５０
平均値―標準偏差　　　　　 　４０
平均値―２×標準偏差　　 　　３０

先ほどの例では、英語のテストの平均点は６０．３点で標準偏差は７．６、数学のテストの平均点は５９．９点で標準偏差は１６．７でした。

英語のテストだったら、

６０．３＋２×７．６＝７５．５

だから、７６点取れば偏差値７０以上だけど、数学のテストだったら、

５９．９＋２×１６．７＝９３．３

だから、９４点取らないと偏差値７０以上にはならないということです。

ばらつきの指標：パーセント点・四分位範囲

データの分布に偏りがある場合、標準偏差も分布を代表する値としてあまり適切ではありません。

データの分布に偏りがある場合に、標準偏差の代わりとなるような指標として、パーセント点という指標があります。

データを小さい順に並べたときの真ん中の順番（５０％番目）になったデータの値を中央値と言いました。

この中央値をパーセント点という言葉を使って表すと、５０パーセント点ということができます。

つまり、

〇〇パーセント点：データを小さい順に並べたときの〇〇％番目になったデータの値

がパーセント点です。

よく２５パーセント点と７５パーセント点が使われます。

中央値も含めて、２５，５０，７５％番目の値を求めると、ちょうどデータを４分割することになるので、２５パーセント点と７５パーセント点の値の間の範囲を四分位範囲と呼ぶことがあります。

２５％番目の値と７５％番目の値の間の範囲なので、全データの５０％が四分位範囲に含まれることになります。